Ra'avad

(Rabbi Avraham ben David; 1125-1198; Provence), Temim De'im #223:

ראב"ד (ר' אברהם בן דוד), תמים דעים רכג (ירושלים: מכון חתם סופר, תשל"ד; הדפסה ראשונה בווארשא, תרנ"ז); ז"ל

מסכת עירובין מפרק חלון שבין שתי חצרות אמר רבי יוחנן חלון עגול צריך שיהא בהקפו כ"ד טפחים שנים ומשהו מהן בתוך עשרה. ואסיקנא ר' יוחנן דאמר כדייני דקסרי ואמר לה רבנן דקסרי אמרי עגול מגו רבועא ריבעא רבועא מגו עגולא פלגי ואית דגרסי תלתא והכל עולה לחשבון אחד מאן דגריס פלגא פלגא דרבועא עלאה דנפיק עגולא מגויה. ומאן דגריס תלתא תלתא דעגולא בצר ליה רבעא דנפיק מגויה וזה דבר ידוע שאם תעגל עגול אחד ותרבע עליו מרובע אחד מחוץ לו ותרבע תוכו מרובע אחר יהיה המרובע התיכון חצי המרובע החיצון כי כשתגרע מן החיצון רביעיתו כפי יתרון המרובע על העגול שבתוכו ותגרע עוד שלישית העגול כפי יתרון העגול על המרובע שבתוכו ישאר לך המרובע התיכון חצי המרובע החיצון ואנו מעמידים דברי רבי יוחנן על דרך החשבון הזה כי כשאמר רבי יוחנן צריך שיהיה בהקיפו כ"ד טפחים לא אמר בהיקף החוט הסובב את העיגול כמו שאמרו במקום אחר כל שיש בהקיפו ג' טפחים יש בו רוחב טפח אבל הקף זה האמור בדברי רבי יוחנן צריך שיהיה בהקיפו כ"ד רוצה לומר בהערכתו ברבוע והוא מלשון ערך והקש כמו שאמרו אין מקיפין בבועי שהוא מלשון ערך והקש ודמיון זה כך כשאתה מקיש העגול למרובע כאלו אמר ברבועו או בתשברתו וזה דבר ידוע כי כל עגול שיהיה ברבועו כ"ד יהיה המרובע שעליו ל"ב כפי יתרון המרובע על העגול שהוא רבוע ויהיה המרובע שבתוך העגול הזה י"ו שהוא חצי המרובע. נמצא המרובע התיכון ד' על ד' שהוא גדר י"ו ברבועו. ומ"ש רבי יוחנן שנים ומשהו מהן בתוך עשרה גם זה על דרך הרבוע כי כשתסלק מן העגול שיש ברבועו כ"ד טפחים ארבע קשתות לארבע רוחותיו מפני המרובע שבתוכו יהיה רבוע כל קשת ב' טפחים התבראתא נמצאו ח' טפחים מסולקים בארבע קשתות סביבות המרובע התיכון הזה נשאר המרובע הזה י"ו שהוא המרובע ד' על ד' וצריך עוד משהו שיכנס מן החלון מקצתו בתוך עשרה ובזה עמדו דברי רבי יוחנן מכוונים על חשבון דייני דקסרי וגם קרובים את האמת. ומה שאמרו במסכת סוכה ולא היא הא קא חזינן דלא הוי כולי האי על דרך חכמי המחקר בחכמת השיעור שאמרו כי העגול י"א חלקים מי"ד במרובע החיצון והמרובע התיכון ז' חלקים מי"א בעגול אבל זה הדבר ברור הוא בלי ספק כי המרובע התיכון חצי המרובע החיצון. נשלמה ההלכה: עכ"ל

Tractate Eruvin, from Chapter "Chalon Shebein Shtei Chatzeirot": "Rabbi Yochanan said, 'A round window must have a hekef of 24 tefachim, more than 2 of them within ten [tefachim of the ground].'" The conclusion is that Rabbi Yochanan followed the view of the judges of Caesarea – some say the rabbis of Caesarea – [who] say, "A circle inscribed in a square – one quarter; a square inscribed in a circle – one half." Some read, "one third." It all amounts to the same thing [and refers to a square inscribed in a circle inscribed in a larger square]. "One half" refers to one half of the larger square, in which the circle is inscribed; "one third" refers to the one third of the circle that one subtracts to obtain [the area of] the square inscribed in it. It is known that if one constructs a circle, a square in which the circle is inscribed, and a square inscribed in the circle, the inner square will be half the outer square [in area]. ... We interpret Rabbi Yochanan's words as reflecting this calculation. When Rabbi Yochanan said that [the round window] needs a hekef of 24 tefachim, he referred by the word hekef not to the circle's perimeter ... but to its area. ... It is known that if a circle with an area of 24 is inscribed in a square, the square has an area of 32, as the additional area of square compared with a circle inscribed in it is one quarter of the square's area. The square inscribed in such a circle will have an area of 16, half the area of the outer circle. The inner square is thus 4 by 4 [the required halachic minimum and the measure Rabbi Yochanan requires], with a perimeter of 16. Rabbi Yochanan's statement that more than 2 tefachim must be within 10 [of the ground] is also based on area: for when one removes from a circle of area 24 tefachim four pieces – one on each side [bounded by the border of the circle and a side of the square inscribed in it] – the area of each piece will be 2 square tefachim. [In obtaining the inscribed square,] 8 [square tefachim] in total are thus removed from [the circle at] the sides of the inscribed square, leaving the square with an area of 16 square tefachim – 4 by 4. There needs to be another little bit [of the circle under 10 tefachim] so that part of the inscribed square will be under 10 tefachim [as required by halacha]. According to this, Rabbi Yochanan's statement corresponds to the calculation of the judges of Caesarea [regarding the ratios of the areas of the inscribed circle and square], and it is also close to the truth. The statement in Tractate Sukkah, "[Rabbi Yochanan's view] is not correct, for we can see that it is not so big," follows the scholars of the science of measurement, who said that the ratio of [the area of] the circle to the outer square is 11 to 14, and that of the inner square to the circle, 7 to 11 [not 3 to 4 and 2 to 3, as per the judges of Caesarea]. But it is clear and beyond doubt that the inner square is half of the outer square. [translation by HWMNBN]

(Reference from footnote 7 of the Mossad Harav Kook Rashba, Tractate Eruvin, Chapter 7.)