Rashba

(Rabbi Shlomo ben Avraham Aderet; 1235-1310; Spain):

i. Eruvin 76b, s.v. "Ribua migo igula palga":

רשב"א, עירובין עו: ד"ה "ריבועא מגו עיגולא פלגא" (ירושלים: מוסד הרב קוק, תשנ"ה); ז"ל

ריבועא מגו עיגולא פלגא. יש מפרשים טעמא דדייני דקיסרי משום דקא סברי כל אמתא בריבועא תרי אמין באלכסונא, וזה דבר תימה האיך יטעו כל כך במה שהוא ניכר לעין, והראב"ד ז"ל פי' דקא סברי דאמתא בריבועא טפי מאמתא ותרי חומשי באלכסונא וסבירא להו נמי דכל שיש ברחבו טפח אית ליה טפי מתלתא טפחים בהיקיפו ובין יתרון האלכסון ויתרון ההיקף על החשבון שאמרו חכמים העלו אותו דייני דקיסרי לפלגא, ומ"מ אין הדבר כן וכבר דחינום בפ"ק דסוכה (ח, ב) גבי סוכה העשויה ככבשן, וגם זה נראה וניכר לעין שאינו עולה לפי חשבון זה ואפילו בקרוב אינו, ומדרך התשבורת מוכרח שהוא רחוק מאד מזה השיעור, ובתשובות הגאונים ז"ל ראיתי כי דייני דקיסרי כוונו המדה בקרוב אלא שר' יוחנן הבין דבריהם על הצד שאמרנו שהם כך אמרו עגולא מגו ריבועא רבעא וריבועא מגו ההוא (ריבועא) [עיגולא] פלגא מרבועא קמא ובתבריתא, וזה באמת פלגא בקרוב, ותדע לך שאם תרבע טבלא עשר על עשר יהיו מאה בתבריתא וכשתעגל בתוכה עגול שוה כטבעת היה ג"כ עשר על עשר עגולות, וכשתרבע בתוך אותו עיגול נמצא אלכסון הרבוע ההוא עשר וכל שיש באלכסונו עשר יש בצלע הריבוע שבע ומשהו על דרך החשבון שאמרו כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשי באלכסונא ושבע על שבע הוו מ"ט בתבריתא, וכשתוסיף עוד על החשבון המשהויין יהיו נ' בקירוב נמצא שהוא פלגא דריבועא קמא בתבריתא, אלא דר' יוחנן סבר דפלגא בעגולא ממש קאמרי, וזה דבר של תימה שיטעה ר' יוחנן כל כך בדבריהם, ואני אומר כי שמא דייני דקיסרי ראו כל צלע וצלע מצלעי הריבוע כאלו הוא חוט מקיפו והא בודאי אילו מקיף כל צלע וצלע בעיגול שוה יהיה חוט המקיפו שנים עשר טפחים על דרך החשבון דכל שיש ברחבו טפח יש בהיקיפו שלש טפחים, וכיון שכן נמצא החוט שעל צלע הריבוע המזרחי ששה וכן כל צלע הריבוע המערבי ששה וכן לד' רבעיו וכשתחבר את הכל יהי חשבון כל ההיקפין כ"ד בכיוון, ובאמת כי החשבון הזה אינו אמת לפי שהוא לוקח ההיקף לכל א' מן הצלעות ואינו אלא היקף א' לכולן וכשתקיף את כל המרובע בהיקף א' שוה קדור כטבעת לא יהיה רק י"ז נכי חומשא. עכ"ל

"A square inscribed in a circle [has a perimeter of two-thirds the circle's circumference]." Some explain that the judges of Caesarea base their opinion on the assumption that for every amah of a square's side-length, there are 2 amot in its diagonal. This is a perplexing thing; how could they err so much regarding something that the eye can discern? ... In the responsa of the Geonim I saw [it suggested] that the judges of Caesarea made accurate calculations, but Rabbi Yochanan understood their words in the way we have explained [i.e., regarding perimeter], whereas the judges of Caesarea really said that a circle inscribed in a square has three-quarters the area of the square, and that another, smaller square inscribed within that circle has an area one-half that of the larger square, and this is really [true]. Proof: a 10 by 10 square board has an area of 100. A circle inscribed within it has a diameter of 10. The square inscribed in that circle has a diagonal length of 10; and a square with a diagonal of 10 has a side-length of 7 and a remainder, according to the calculation that they said – "For every amah [of the side-length] of a square there are 2 and four-fifths amot in its diagonal. Now, a 7 by 7 square has an area of 49, and when you add onto that amount [the extra area attributable to] the remainder, the final area will be 50 – half the area of the larger square [QED]. But Rabbi Yochanan thought that they were talking about [a square being] half of the circle itself. It is astonishing to think that Rabbi Yochanan could have erred so much in the interpretation of their words. I suggest [rather] that the judges of Caesarea [constructed four circles, each of diameter 4 tefachim and each surrounding a different side of the square. Since each side of the square is 4 tefachim long, each circle would have a circumference of 12 tefachim. The judges then considered the lengths of the four semi-circles lying outside of the square; each would have a length of 6 tefachim. The judges calculated the circumference of the circle circumscribing the square by adding the lengths of these four semi-circles together; thus they obtained their result, 24.] The truth is that this calculation is incorrect because it adds together [four semi-circles, one for each side of the square], but there is actually only one circle surrounding all four sides, and when you circumscribe the entire square as a whole with one circle, the resulting length is only 16.8. [translation by HWMNBN]

ii. Chullin 59a, s.v. "Ha detanu rabanan eilu hein simanei chaya" (belongs to III-B-2): Rashba describes a tannaic dispute about zoology:

רשב"א, חולין נט. ד"ה "הא דתנו רבנן אלו הן סימני חיה" (ירושלים: מוסד הרב קוק, תשנ"ו); ז"ל

הא דתנו רבנן אלו הן סימני חיה כל שיש לה קרנים וטלפים ר' דוסא אומר יש לה קרנים אין צריך לחזר על הטלפי', יש לה טלפים אתה צריך לחזר על הקרנים. ותרצה רב זעירא דלהתיר חלבה קאמר דכל שיש לה קרנים וטלפ' חלבה מותר. קשיא להו לרבוות' ז"ל ולהתיר חלבה טלפים למה דבהמה נמי טלפים יש לה. ותירץ רבינו יצחק ב"ה רבי מאיר זצ"ל דתרתי קאמר טלפים להתיר בשרה, וכדאמר רב חסדא הי' מהלך במדבר ומצא בהמה שפיה גמום בודק בפרסותיה והוא שיכיר חזיר, והכא אין צריך להכיר אפילו חזיר שהרי אין בחיות כמוהו. וקרנים להתיר חלבה, ור' דוסא פליג ואמר דאין אתה צריך לחזר על הטלפים כלל דאין לך חיה טמאה שיש לה קרנים וכל שיש לה קרנים בידוע שיש לה טלפים. והא דתנן בנדה פרק בא סימן (נא:) כל שיש לה קרנים יש לה טלפים רבי דוסא היא. ורבינו תם אחיו ז"ל פירש דטלפים משונין קאמ' שאין כיוצא בהן לבהמה ושני סימנין קאמר דכל שיש לה קרנים אי אתה צריך לחזר על הטלפים וכל שיש לה טלפים אי אתה צריך לחזר על הקרנים דבכל חד מיניהו סגי, ורבי דוסא פליג אטלפים ולחומרא פליג ומתני' דפרק בא סימן כולי עלמא היא. ונראין דברי רבינו יצחק ז"ל דשקלינן וטרינן בגמר' להפריש בין קרני החיה לשל בהמה ובטלפים לא מפרש כלל. עכ"ל

Our rabbis taught, "These are the signs of a [kosher] chaya [wild animal]: anything with [particular types of] horns and [split] hooves. Rabbi Dosa says that if [the animal] has horns, one need not check the hooves, but if it has [split] hooves, one must still check the horns." Rav Ze'eira explained that the statement discusses the permissibility of the animal's cheilev [some of its fat]; it is saying that the cheilev of any animal with horns and [split] hooves is permissible [to eat – i.e., that the animal is a chaya, not a beheima (domesticated animal)]. Our rabbis [the tosafists] of blessed memory found this passage difficult: what use are hooves in determining whether the cheilev is permitted, given that a beheima [as well as a chaya] has [split] hooves? Rabbeinu Yitzchak son of Rabbi Meir (Rivam) ... answered that the statement addresses two issues: [split] hooves to permit the meat [i.e., to ensure the animal is kosher], ... and horns to permit the cheilev [i.e., ensure the animal is a chaya, not a beheima]. Rabbi Dosa disagrees, saying one need not check the hooves at all, for no non-kosher chaya has horns, and thus [any chaya] with horns must have [split] hooves. The mishna in Niddah, Chapter Ba Siman (51b), "Anything with horns has [split] hooves," is in accordance with Rabbi Dosa. Rabbeinu Tam, [Rivam's] brother, explained that the Talmud refers to unusual hooves, which never occur in beheimot. ... Rabbeinu Yitzchak's view seems correct, because the Gemara belabours the distinction between the horns of a chaya and those of a beheima, but explains nothing about the hooves. [translation by HWMNBN]

(Reference from Rabbi Chizkiya da Silva, Pri Chadash, Yoreh De'a 80:2.)

iii. Torat Habayit, Bayit 3, Sha'ar 1, s.v. "Simanei beheima keitzad" (belongs to III-B-2):

רשב"א, תורת הבית, הבית השלישי, השער הראשון, ד"ה "סימני בהמה כיצד" (ירושלים: הוצאת מכון התלמוד הישראלי השלם, תשל"ב; הדפסה חדשה של ביוזעפאף: ר' אהרן וואלדען, תרמ"ב; כרך א); ז"ל

סימני חיה כיצד. חיה בכלל בהמה לסימנין להכיר בין טמאה לטהורה דתניא בפ' בהמה המקשה חיה בכלל בהמה מנא לן דכתיב זאת הבהמה אשר תאכלו שור שה כבשים ושה עזים. איל וצבי ויחמור וגו'. הא כיצד חיה טהורה בכלל בהמה טהורה לסימנין. חיה טהורה חלבה מותר שלא אסרה תורה אלא חלב בהמה שנ' כל חלב שור וכשב ועז לא תאכלו. וכמו שיתבאר בשער הג' של בית זה בנקור חלב היה מהלך במדבר ומצא בה בהמה שפרסותיה סדוקות ואין לה שינים למעלה דהיא טהור' ודאי ואינו יודע אם מין בהמה וחלבה אסור או מין חיה וחלבה מותר בודק בקרניה דת"ר אלו הן סימני חיה כל שיש לו קרנים וטלפים ר' דוסא אומר יש לו קרנים אין אתה צריך לחזר על הטלפים יש לה טלפים אתה צריך לחזר על הקרנים ואמר רב זעירא להתיר חלבה קאמר וה"ק אלו הן סימני חיה שחלבה מותר כל שיש לה קרנים וטלפים וכתב הרב ר' יצחק בר' מאיר ז"ל דתרתי קאמר טלפים להתיר בשרה וכדאמר רב חסדא היה מהלך במדבר ומצא בהמה שפיה גמום בודק בפרסותיה והוא שיכיר חזיר והכא אין צריך להכיר אפילו חזיר שהרי אין בחיות כמוהו. וקרנים להתיר חלבה רבי דוסא פליג ואמר דאין צריך לחזר על הטלפים כלל דאין לך חיה טמאה שיש לה קרנים וכל שיש לה קרנים בידוע שיש לה טלפים. והא דתנן בנדה פרק בא סימן כל שיש לה קרנים יש לה טלפים ר' דוסא היא. ורת"ם ז"ל אחיו פי' דטלפים משונין קאמר שאין כיוצא בהן לבהמה דכל שיש לה קרנים אין אתה צריך לחזר על הטלפים וכל שיש לה טלפים אי אתה צריך לחזר על הקרנים דבכל חד מינייהו סגי להתיר חלבה ור' דוסא פליג אטלפים ולחומרא פליג ומתני' דפ' בא סימן כ"ע היא. ונראין דברי רבינו יצחק מדשקלינן וטרינן בגמ' להפריש בין קרני חיה לקרני בהמה ובטלפים לא מפריש כלל. עכ"ל

What are the details of the signs of a [kosher] chaya [wild animal]? A chaya is treated as a beheima [domestic animal] regarding the signs that determine whether it is kosher. ... A kosher chaya's fat is permitted, as the Torah forbade only the fat of a beheima. ... If one was walking in the desert and found there an animal with split hooves and without upper teeth – therefore definitely kosher – but did not know whether it was a beheima – and its fat forbidden – or a chaya – and its fat permitted—he should inspect its horns. For our rabbis have taught: "These are the signs of a chaya: any [animal] with [a certain type of] horns and [split] hooves. Rabbi Dosa says, 'If it has [the required type of] horns, you need not check its hooves; if it has [split] hooves, you must check its horns;'" and Rabbi Ze'eira said, "[This passage's purpose] is to describe how to determine that its fat is permitted; it is read as follows: 'These are the signs of a chaya whose fat is permitted: any [animal] with [the required type of] horns and [split] hooves.'" Rabbi Yitzchak ben Rabbi Meir wrote that the passages addresses two issues: [checking the] hooves ascertains that the animal's meat is permissible; ... [checking the] horns ascertains that the fat is permissible [i.e., that the animal is a chaya, not a beheima]. Rabbi Dosa disagrees, and says that you need not inspect the hooves at all, for there is no non-kosher chaya with [the required] horns, and thus any animal with [such] horns certainly has [split] hooves. The mishna in Niddah, Chapter Ba Siman, that says that any animal with [the requisite] horns has [split] hooves, follows Rabbi Dosa. ... Rabbeinu Yitzchak's view seems correct.... [translation by HWMNBN]

(Reference from Chidushei Harashba al Hashas, Chullin (Mosad Harav Kook edition), Chapter 3, fn. 730.)